CONJUNTOS NUMÉRICOS

CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS

Pertencem ao conjunto dos naturais os números inteiros positivos incluindo o zero. Representado pela letra N maiúscula. Os elementos dos conjuntos devem estar sempre entre chaves. 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ... } 
- Quando for representar o Conjunto dos Naturais não – nulos (excluindo o zero) devemos colocar * ao lado do N. 
Representado assim: 
N* = {1, 2,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 ,11 ,12, ... } 

A reticência indica que sempre é possível acrescentar mais um elemento. 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} ou N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... } 

Qualquer que seja o elemento de N, ele sempre tem um sucessor. Também falamos em antecessor de um número. 
• 6 é o sucessor de 5. 
• 7 é o sucessor de 6. 
• 19 é antecessor de 20. 
• 47 é o antecessor de 48. 
Como todo número natural tem um sucessor, dizemos que o conjunto N é infinito. 

Quando um conjunto é finito? 
O conjunto dos números naturais maiores que 5 é infinito: {6, 7, 8, 9, ...} 
Já o conjunto dos números naturais menores que 5 é finito: {0, 1, 2, 3, 4} 
Veja mais alguns exemplos de conjuntos finitos. 
• O conjunto dos alunos da classe. 
• O conjunto dos professores da escola. 
• O conjunto das pessoas que formam a população brasileira. 

O conjunto dos números inteiro

Interseção do conjunto dos naturais e dos inteiros.

Pertencem ao conjunto dos números inteiros os números negativos, os números positivos e o zero. Fazendo uma comparação entre os números naturais e os inteiros percebemos que o conjunto dos naturais está contido no conjunto dos inteiros. 


N = { 0,1,2,3,4,5,6, ... } 
                             
Z = { ... , -3,-2,-1,0,1,2,3,4, ... } 


                    N Z 
O conjunto dos números inteiros é representado pela letra Z maiúscula. Os números positivos são representados com o sinal de (+) positivo na frente ou com sinal nenhum (+2 ou 2), já os números negativos são representados com o sinal de negativo (-) na sua frente (-2). 


►Os números inteiros são encontrados com freqüência em nosso cotidiano, por exemplo: 


♦ Exemplo 1: 

Um termômetro em certa cidade que marcou 10^°C acima de zero durante o dia, à noite e na manhã seguinte o termômetro passou a marcar 3°C abaixo de zero. Qual a relação dessas temperaturas com os números inteiros? 


Quando falamos acima de zero, estamos nos referindo aos números positivos e quando falamos dos números abaixo de zero estamos referindo aos números negativos. 


+10° C ------------- 10° C acima de zero 
- 3° C --------------- 3° C abaixo de zero 
♦ Exemplo 2: 


Vamos imaginar agora que uma pessoa tem R$500,00 depositados num banco e faça sucessivas retiradas: 


• dos R$500,00 retira R$200,00 e fica com R$300,00
 
• dos R$300,00 retira R$200,00 e fica com R$100,00 

• dos R$100,00 retira R$200,00 e fica devendo R$ 100,00 A última retirada fez com que a pessoa ficasse devendo dinheiro ao banco. Assim: 


Dever R$100,00 significa ter R$100,00 menos que zero. Essa dívida pode ser representada por – R$100,00. 
►Oposto de um número inteiro 


O oposto de um número positivo é um número negativo simétrico. Por exemplo: o oposto de +2 é -2; o oposto de -3 é +3. 


►O conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos: 


- Inteiros não – nulos 
São os números inteiros, menos o zero. 
Na sua representação devemos colocar * ao lado do Z. 
Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3,...} 


- Inteiros não positivos 
São os números negativos incluindo o zero. 
Na sua representação deve ser colocado - ao lado do Z. 
Z_ = {..., -3, -2, -1, 0} 


- Inteiros não positivos e não – nulos São os números inteiros do conjunto do Z_ excluindo o zero. 
Na sua representação devemos colocar o _ e o * ao lado do Z. 
Z*_ = {..., -3, -2, -1} 


- Inteiros não negativos 
São os números positivos incluindo o zero. 
Na sua representação devemos colocar o + ao lado do Z. 
Z + = { 0,1 ,2 ,3, 4,...} 
O Conjunto Z ₊ é igual ao Conjunto dos N 


- Inteiros não negativos e não - nulos 
São os números do conjunto Z+, excluindo o zero. 
Na sua representação devemos colocar o + e o * ao lado do Z. 
Z* + = {1, 2, 3, 4,...} O Conjunto Z* ₊ é igual ao Conjunto N*

O conjunto dos números racionais

Interseção dos conjuntos: Naturais, Inteiros e Racionais.

Os números decimais são aqueles números que podem ser escritos na forma de fração. 

Podemos escrevê-los de algumas formas diferentes: 

Por exemplo: 

♦ Em forma de fração ordinária:  ; ; e todos os seus opostos.

Esses números tem a forma  com a ,  b  Z  e  b ≠ 0. 

♦ Números decimais com finitas ordens decimais ou extensão finita: 

Esses números têm a forma  com a , b  Z e b ≠ 0. 

♦ Número decimal com infinitas ordens decimais ou de extensão infinita periódica. São dízimas periódicas simples ou compostas: 

As dízimas periódicas de expansão infinita, que podem ser escritas na forma  : com a, b  Z e b ≠ 0. 

► O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q maiúscula. 

Q = {x = , com a Z e b Z*} 

►Outros subconjuntos de Q: Além de N e Z, existem outros subconjuntos de Q. 

Q^* ---------- É o conjunto dos números racionais diferentes de zero. 

Q₊ ---------- É o conjunto dos números racionais positivos e o zero. 

Q_- ----------- É o conjunto dos números racionais negativos e o zero. 

Q_^*+ ---------- É o conjunto dos números racionais positivos. 

Q^*_- ----------- É o conjunto dos números racionais negativos. 

► Representação Geométrica 

Entre dois números racionais existem infinitos outros números racionais.

CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS

Números irracionais: presentes no 
desenvolvimento da Matemática

A história dos números reais não é recente, eles foram surgindo ao longo de inúmeras descobertas Matemáticas, um dos primeiros irracionais está diretamente ligado ao Teorema de Pitágoras, o número √2 (raiz quadrada de dois) surge da aplicação da relação de Pitágoras no triângulo retângulo com catetos medindo 1 (uma) unidade. 

Nessa época, o conhecimento permitia extrair somente a raiz de números que possuíam quadrados inteiros, por exemplo, 4² = 16, portando √16 = 4 e no caso de √2 não existia um número que, elevado ao quadrado, resultasse 2. 
Outro irracional surgiu da relação entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro, resultando um número constante igual a 3,141592....., representado pela letra grega π (lê-se pi). O número de Ouro também é considerado irracional, através de pesquisas e observações o Matemático Leonardo de Pisa, mais conhecido como Fibonacci, estabeleceu a seguinte sequência numérica: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, .... Essa sequência é formada obedecendo a uma montagem lógica, observe: 


1 
1 + 1 = 2 
2 + 1 = 3 
3 + 2 = 5 
5 + 3 = 8 
8 + 5 = 13 
13 + 8 = 21 
21 + 13 = 34 
34 + 21 = 55 


Note que o próximo número da sequência é formado através da soma entre o atual e seu sucessor. Nessa sequência numérica, o número irracional surge da divisão entre um elemento e seu antecessor, a partir do número 21, veja: 


5 : 3 = 1,666666..... 
8 : 5 = 1,6 
13 : 8 = 1,625 
21 : 13 = 1,6153846153846153846153846153846 ... 
34 : 21 = 1,6190476190476190476190476190476 ... 
55: 34 = 1,6176470588235294117647058823529 ... 


John Napier, matemático que intensificou os estudos sobre logaritmos, desenvolveu uma expressão que, ao ser calculada, resulta em um número irracional: 

O número irracional não admite representação na forma de fração (contrário dos números racionais) e também quando escrito na forma de decimal é um número infinito e não periódico. 


Exemplos 


π = 3,141592653589793238462... no número pi, após a virgula, não existe formação de períodos, por isso é considerado irracional. 


0,232355525447... é infinito e não é dízima periódica (pois os algarismos depois da vírgula não formam períodos), então é irracional. 


2,102030569... não admite representação fracionária, pois não é dízima periódica. 


Se utilizarmos uma calculadora veremos que √2 , √3 , √5, √7, entre outros, são valores que representam números irracionais. 


A representação do conjunto dos irracionais é feita pela letra I maiúscula. 

CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS

O conjunto dos números reais surge para designar a união do conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais. É importante lembrar que o conjunto dos números racionais é formado pelos seguintes conjuntos: Números Naturais e Números Inteiros. Vamos exemplificar os conjuntos que unidos formam os números reais. Veja: 

Números Naturais (N): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, .... 
Números Inteiros (Z): ..., –8, –7, –6, –5, –4, –3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ..... 
Números Racionais (Q): 1/2, 3/4, 0,25, –5/4, 
Números Irracionais (I): √2, √3, –√5, 1,32365498...., 3,141592.... 

Podemos concluir que o conjunto dos números reais é a união dos seguintes conjuntos: 

N U Z U Q U I = R ou Q U I = R 


Os números reais podem ser representados por qualquer número pertencente aos conjuntos da união acima. Essas designações de conjuntos numéricos existem no intuito de criar condições de resolução de equações e funções, as soluções devem ser dadas obedecendo aos padrões matemáticos e de acordo com a condição de existência da incógnita na expressão.